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余角关係 (Trigonometric Identities

2020-06-17 22:47 来源于:shenmy 我要评论(299)


在 $$\Delta{ABC}$$ 中,若 $$\angle{ABC}=90^\circ$$,则 $$\angle{A}+\angle{B}=90^\circ$$,如下图一所示:

余角关係 (Trigonometric Identities

图一:现行高中数学教科书,锐角三角函数的定义是建立在直角三角形上。

根据三角函数的基本定义,

因为 $$\angle{A}$$ 的对边 $$\overline{BC}$$ 恰为 $$\angle{B}$$ 的邻边,且 $$\angle{B}$$ 的对边 $$\overline{AC}$$ 恰为 $$\angle{A}$$ 的邻边。则

$$\displaystyle\sin{A}=\frac{a}{c}=\cos{B}$$,$$\displaystyle\cos{A}=\frac{b}{c}=\sin{B}$$,$$\displaystyle\tan{A}=\frac{a}{b}=\cot{B}$$,

$$\displaystyle\cot{A}=\frac{b}{a}=\tan{B}$$,$$\displaystyle\sec{A}=\frac{c}{b}=\csc{B}$$,$$\displaystyle\csc{A}=\frac{c}{a}=\sec{B}$$。

以上这六个恆等式称为三角函数的余角关係。因为 $$\angle{A}$$ 和 $$\angle{B}$$ 互为余角,我们称正弦函数(sine)与余弦函数(cosine)两函数具有互余关係、正切函数(tangent)与余切函数(cotangent)两函数具有互余关係、正割函数(secant)与余割函数(cosecant)两函数具有互余关係。透过余角的关係,我们可以快速得到任何角其余角的六个三角函数值。

例如:直角 $$\Delta{ABC}$$ 中,$$\angle{BAC}=30^\circ$$,在 $$\overline{CA}$$ 上取一点 $$D$$,使 $$\overline{AB}=\overline{AD}$$,利用图二,求 $$15^\circ$$的六个三角函数值,进而求得 $$75^\circ$$ 的六个三角函数值。

余角关係 (Trigonometric Identities

图二:$$\Delta{DBC}$$为$$15^\circ-75^\circ-90^\circ$$直角三角形。

解答:令 $$\overline{BC}=1$$,利用直角三角形 $$30^\circ-60^\circ-90^\circ$$ 的边长比例关係,

得 $$\overline{AC}=\sqrt{3}$$ 且 $$\overline{AB}=2$$,又 $$\overline{AB}=\overline{AD}$$,得 $$\overline{AD}=2$$,

利用毕达哥拉斯定理得 $$\overline{BD}=\sqrt{{\overline{CD}}^2+{\overline{BC}}^2}=\sqrt{(2+\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{6}+\sqrt{2}$$,

根据三角函数的基本定义得:

$$\displaystyle\sin{15}^\circ=\frac{\overline{BC}}{\overline{BD}}=\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$$。

$$\displaystyle\cos15^\circ=\frac{\overline{CD}}{\overline{BD}}=\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=\frac{(2+\sqrt{3})(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$。

$$\displaystyle\tan15^\circ=\frac{\overline{BC}}{\overline{CD}}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$$。

$$\displaystyle\cot15^\circ=\frac{\overline{CD}}{\overline{BC}}=\frac{2+\sqrt{3}}{1}=2+\sqrt{3}$$。

$$\displaystyle\sec15^\circ=\frac{\overline{BD}}{\overline{CD}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2+\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\sqrt{6}-\sqrt{2}$$。

$$\displaystyle\csc15^\circ=\frac{\overline{BD}}{\overline{BC}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{1}=\sqrt{6}+\sqrt{2}$$。

透过余角关係,我们快速求得 $$75^\circ$$ 的六个三角函数值,

$$\displaystyle\sin75^\circ=\sin(90^\circ-15^\circ)=\cos15^\circ=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$。

$$\displaystyle\cos75^\circ=\cos(90^\circ-15^\circ)=\sin15^\circ=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$$。

$$\displaystyle\tan75^\circ=\tan(90^\circ-15^\circ)=\cot15^\circ=2+\sqrt{3}$$。

$$\displaystyle\cot75^\circ=\cot(90^-15^\circ)=\tan15^\circ=2-\sqrt{3}$$。

$$\displaystyle\sec75^\circ=\sec(90^\circ-15^\circ)=\csc15^\circ=\sqrt{6}+\sqrt{2}$$。

$$\displaystyle\csc75^\circ=\csc(90^\circ-15^\circ)=\sec15^\circ=\sqrt{6}-\sqrt{2}$$。

这种类似的应用可延伸至特别角 $$18^\circ-72^\circ$$ 关係。余角关係的另一个功能则呈现在广义角的三角函数值上,例如:求 $$\sin225^\circ$$ 的值?可利用广义角性质与余角关係,即

$$\begin{array}{ll}\sin255^\circ &=\sin(180^\circ+75^\circ)=-\sin75^\circ\\&=-\sin(90^\circ-15^\circ)=-\cos15^\circ=\displaystyle\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\end{array}$$

另外,Sidney H. Kung Proof without WordsII:More Exercises in Visual Thinking 一书所收入的正弦的二倍角公式  $$\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$$ 之不言而喻证明,其过程就巧妙地利用 $$\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)=\cos\theta$$ 余角关係式:

$$\displaystyle\frac{\sin2\theta}{2\sin\theta}=\frac{\sin(\pi/2-\theta)}{1}=\cos\theta$$

$$\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$$

余角关係 (Trigonometric Identities

图三

参考文献:

Nelson, Roger B. (2000).Proof without WordsⅡ:More Exercises in Visual Thinking, Washington D.C.:The Mathematical Association of America, p. 49.
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